概要 方程式 $ax \equiv b \pmod M$ の解は，次のように求められる． $g := (a, M)$ として， $g \mid b$ でないとき: 解無し $g \mid b$ であるとき: $a = a’g$， $b = b’g$， $M = M’g$ として，eGCD で，$a’s + M’t = 1$， $0 \leq s < M’$ となる $s, t$ を求める． $b’s \equiv x_0 \pmod{M’}$，$0 \leq x_0 < M’$ となる $x_0$ をとると， 解は，$x_0, x_0 + M’, x_0 + 2M’, \dots, x_0 + (g-1)M’$ の $g$ 個である． 証明 解があるとすると，$ax = b + kM$ と書けるから，$b = ax - kM$ は，$g$ の倍数．...
Cartesian Tree のライブラリ
小さい整数のベクトルの実装2種: small_vector_u64<bits> … unsigned long long の中にビットを分けて格納 small_vector_string … string の各文字に格納 ベクトル自身を safe_umap (unordered_map.cc) などのキーに使える． 使用法 small_vector_u64<bits> small_vector_u64<4> vec1; // 4ビットずつ使用．長さは 64 / bits (この場合は 64/4 = 16) に固定 // 初期値は全要素が0 vec1[0] = 3; vec1[1] = 15; vec1[2] = 20; cout << vec1[0] - vec1[2] << endl; cerr << vec1 << endl; // << は定義済 cerr << vec1.show(3); // "[3, 15, 20]"．長さを引数で指定．省略すると 64/bits safe_umap<small_vector_u64<4>, ll> mp; mp[vec1] = 100; // safe_umap などのキーとして使える． small_vector_string small_vector_string vec2(3); // 長さを指定．省略すると長さ0． // 初期値は全要素が0 vec2[0] = 3; vec2[1] = 15; vec2[2] = 20; cout << vec2[0] - vec2[2] << endl; cerr << vec2 << endl; // << は定義済 safe_umap<small_vector_string, ll> mp; mp[vec2] = 100; // safe_umap などのキーとして使える． 注意事項 small_vector_u64<bits> bits < 64 であること．(bits <= 32 でないと使う意味は無い)．64の約数でなくても良い． ベクトルの長さは 64 / bits 固定． 格納できる値は，0 以上 1ULL << bits 未満の整数． small_vector_string 格納できる値は，0 以上 256 未満の整数． string をほとんどそのまま使っている．<< 演算子で，ベクトル風に出力されるところだけが違う． ソース ソース
解法に詰まったとき，以下の方法が適用できないか，考えてみる． 二分探索 bit64倍高速化 convolution 半分全列挙 フロー 燃やす埋める 平方分割 CHT trie wavelet 行列 行列累乗 (期待値) = sum_i (i以上になる確率) deque はランダムアクセスが O(1) 区間 [a, b] を2次元平面の点 (a, b) で表現 区間の問題を距離の問題に言い直して Dijkstra (例題 ) 積の和典型 集合のハッシュ． Zobrist Hashing (有限集合の部分集合) 多重集合のハッシュ (例題 )
自分用の 行列ライブラリ のメモです． 依存関係 AO.cc (Algebra Operations) に依存する … と思う (最近チェックしていない．ひょっとしたら違うかも) 型 要素の型を T として，Matrix<T> が，行列の型になる． 以下，要素の型を T とし，MyMat = Matrix<T> と定義されているものとする． mat は MyMat 型とする． 使用法 using MyMat = Matrix<ll>; MyMat mat1(n, m); REP(i, 0, n) REP(j, 0, m) cin >> mat1.at(i, j); MyMat cvec1(n, 1); REP(i, 0, n) cin >> cvec1.at(i, 0); auto cvec2 = mat1 * cvec1; REP(i, 0, n) cout << cvec2.at(i, 0) << " "; cout << endl; 構築子 MyMat(int dimI_, int dimJ_) … dimI_ 行 dimJ_ 列 の零行列 MyMat(int dimI_, int dimJ_, T t) … dimI_ 行 dimJ_ 列 の，要素の値がすべて t である行列 MyMat(int dimI_, int dimJ_, const vector<T>& vec) … dimI_ 行，dimJ_ 列で，内部表現が vec である行列． 内部表現は，$a_{00}, a_{01}, \dots, a_{10}, a_{11}, \dots a_{mn}$ の順に並べた1次元 vector....
自分用の木のライブラリのメモです．ソースはこちら ． 1. 典型的な使用法 ll N; cin >> N; Tree tr(N, root); // ノード数 N, 根は root． vector weight(N - 1, 0LL); REP(i, 0, N - 1) { ll a, b, w; cin >> a >> b >> w; a--; b--; // 0-indexed. ll e = tr.add_edge(u, v); weight[e] = w; } auto dfs = [&](auto rF, ll nd) -> void { for (ll cld = tr.children(nd)) { ... } for (auto [cld, e] = tr....
ポインタベースの Trie ライブラリ． ソース 使用法 auto root = new Trie<26, 'a'>(); auto p1 = root->insert("abcde"); // 挿入 auto p2 = root->search("abc"); // 存在しないので p2 == nullptr auto p3 = root->search("abcde"); // 存在するので，p3 == p1 auto p4 = root->get_node("abc"); // 存在に関係無くノードを取る assert(p3->reside); // そのノードは存在ノードか? assert(not p4->reside); root->insert("abab"); assert(root->size_st == 2) // 部分木に存在する数 p3->erase(); // 削除 assert(not p3->reside); assert(p4->size_st == 1); インタフェース テンプレートパラメタ template < int bt_size, // 文字種 char from, // 最初の文字 typename User = monostate, // ユーザデータの型 typename S = string, // 管理するデータの型．string とか vector<char> とか bool compact = 2 < bt_size, // 省メモリ型 bool has_offset = true // オフセットの管理方法 > struct Trie { bt_size … 文字種．小文字の文字列なら 26, 01列なら 2 など． from … 最初の文字．小文字なら 'a', 01文字列なら '0'，整数の01列なら 0 など． User … ユーザデータの型．引数無しで構築できなければならない．省略値は monostate で，これは，何も要素を持たない構造体． S … この trie で管理するデータの型．たいてい string だろうけれど，vector<int> とかでも可．ただし，値は from から from + bt_size までで，char の範囲に入っていること． compact … たとえば全ノードに長さ26のベクトルを持たせるというのはちょっと無駄なので，ここを true にすると，もう少し領域を節約する．ただし，少しは遅くなる (そんなには遅くないと思う) ので，false にすると，固定長 array になる． has_offset … ノードに，何文字目であるかを持たせるかどうか．これはノードごと 4 バイトしか違わないので，いつでも true でも良かったか…....
概要 Stern Brocot Tree を扱うライブラリを書いた． Stern Brocot Tree 連分数 $$ a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{\ddots a_{n - 1} + \cfrac{1}{a_n}}} $$ を，$[a_0, a_1, \dots, a_n]$ と書く．各 $a_i$ は，非負整数． $x + 1 = x + \cfrac{1}{1}$ だから，$[a_0, a_1, \dots, a_n]$ と $[a_0, a_1, \dots, a_n - 1, 1]$ は同じ数を表す． これを除くと表現は一意になる．そこで，$[a_0, a_1, \dots, a_n]$ の表現では，$a_n \neq 1$ と約束する． 例外として，$1$ は，$[1]$ で表現する． 連分数 $\alpha = [a_0, a_1, \dots, a_n]$ に対して， $u(\alpha) = [a_0, a_1, \dots, a_n + 1]$ と， $v(\alpha) = [a_0, a_1, \dots, a_n - 1, 2]$ を考える．これは，連分数最後のパートが...
概要 問題へのリンク 公式解説 は，ちゃんと読んでいない． ユーザ解説 で紹介されている解法を読んだ． 次の2つのクエリを処理するものを，Range Parallel Unionfind (仮称) というらしい merge(a, b, l) : $i \in [0, l)$ について，頂点 $a + i$ と 頂点 $b + i$ の間に辺を結ぶ． leader(a) : 頂点 $a$ を含む連結成分の代表元を返す． この問題は，次のように解ける． $2N$ 頂点のグラフを考える． 気持ちは，前半が $S$ で，後半が $S$ を逆順にしたもの 各 $i$ に対して，回文になるために必要なところ (前半と後半を使う) を線で結ぶ． これは，上の Range Parallel Unionfind の merge(a, b, l) でできる． 頂点 $i$ と $2*N - 1 - i$ を線で結ぶ．これは普通の Unionfind を使う． 回文の一つ外側の文字どうしが同じ連結成分に入っていたら不可能． そうでなければ，辞書順最小のものを求めるために，貪欲に各連結成分の値を決めていく． ということで，Range Parallel Unionfind なるものができれば良い．2つ紹介されている．...
Wavelet 行列ライブラリを書いた． 使用法 vector<ll> vec{...}; WaveletMatrix wm(vec, -1); cout << wm.kth_rank(10, 20) << endl; コンストラクタ WaveletMatrix wm(vec, amax); vec … データを格納したベクトルなど．すべて非負整数であることが必要． amax … 「データがこの値を超えない」という値．-1 を与えると，ライブラリの方で最大値を取ってくれる データメンバ wm.N … データの個数 他にもあるが，使わないと思う． データ値の取得 wm.access(i); i 番目の値を取得する．vec[i] と同じになるはずなので，あまり使いではない． 出現回数 wm.rank(t, r); 区間 [0, r) に t が現れる回数を返す． t は非負整数であればよい． r は，wm.N 以下でなければならない． k番目 wm.kth_smallest(k, l, r); wm.kth_largest(k, l, r); 区間 [l, r) で，k 番目に小さい / 大きい 値を返す． k は 0-indexed. たとえば最小値は kth_smallest(0, l, r)....
set, multiset, priority_queue などの比較関数の指定方法
この組合せで適切かどうか分からないが，こう作った． ライブラリソース 解ける問題 Bellman-Ford アルゴリズム 重み付き有向グラフで，特定の点からすべての点への距離 (パスの重みの和の最小値) を求める． 重みは負でも良い．負閉路があると距離が定義できない ($-\infty$ になる) が，このアルゴリズムはその検出ができる． 計算量は，頂点数 $N$，辺数 $M$ として，$O(NM)$． 牛ゲー 次の制約問題を解く． 変数 $x_i$ ($i = 1, \ldots, n$) に関し，次の制約の下で，$x_n - x_1$ の最大値 (または最小値) を求めよ． $x_{A_j} - x_{B_j} \leq C_j$ $\quad(j = 1, \ldots, m)$ $C_j$ は負でも良い．移項すれば良いので，$x_{A_j} - x_{B_j} \geq C_j$ という制約でも良い． この問題で，求める最大値は，「重み $C_j$ の有向辺 $(B_j, A_j)$ を持つグラフで，$1$ から $N$ への距離」になる (参考リンク )． 次が対応する． 制約を満たせないことと，グラフが負閉路を持つこと いくらでも大きな値を取れることと，グラフで$1$から$N$に到達できないこと 最小値バージョンは，同じ制約の下で $x_1 - x_n$ の最大値を求めて符号を反転すれば良い． 注意: このライブラリでは，Bellman-Ford を用いるので，変数の数$N$，制約の数$M$に対して， $\Omega(NM)$ 時間かかる．制約によっては，(適当な変換をして) ダイクストラなどの 速いアルゴリズムを使う必要があるかもしれない．...
問題概要 問題へのリンク 整数 $N$，$M$ と列$L$，$R$，$S$ が与えられる． $M$個の制約 $$\sum\{ A_j \mid j = L_i, \dots, R_i \} = S_i$$ を満たす長さ $N$ の正の整数の列 $A$ が存在するかどうか判定し， 存在する場合には $A$ の総和の最小値を求めよ． 制約 $1 \leq N, M \leq 4000$，$1 \leq S_i \leq 10^9$ 解 公式解説 略解．click to open 牛ゲー．累積和 $B_i := \sum\{A_j \mid 0 \leq j < i\}$ に関して，次を解けば良い． 次の条件の下で，$B_{N + 1} - B_{1}$ を最小化する $B_{i + 1} - B_i \geq 1$ $B_{R_{i} + 1} - B_{L_i} \geq S_i$ $B_{R_{i} + 1} - B_{L_i} \leq S_i$
問題概要 問題へのリンク 整数 $N$ と，長さ $N$ の正の整数列 $(A_1, \ldots, A_N)$ が与えられる． $m = 1, 2, \ldots, N$ に対して，次の問題を解け 列 $(A_1, \dots, A_m)$ の空でない部分列のスコアの総和を 998244353 で割ったあまりを求めよ． ただし，列 $(B_1, \ldots, B_k)$ のスコアは，$\displaystyle\sum_{i = 1}^{k-1} \textrm{gcd}(B_i, B_{i + 1})$ である． 制約 $1\leq N \leq 5\times10^{5}$，$1 \leq A_i \leq 10^5$ 解 公式解説へのリンク ユーザ解説 (noshi91) へのリンク すこし考察すると，解を $R_1, \ldots, R_N$ として， $$ R_i = 2R_{i - 1} + \sum_{j = 1}^{i - 1} 2^j \textrm{gcd}(A_i, A_j) $$...
問題概要 問題へのリンク 整数 $n$, $m$, $k$ と，長さ $k + 1$ の整数の組の列 $((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_{k + 1}, y_{k + 1}))$ が $(x_i, y_i)$ は，サイズ $n\times m$ のグリッドのセルの座標であり，重複は無い． $(x_i, y_i)$ と $(x_{i + 1}, y_{i + 1})$ の間に1つずつセルを挿入して， 縦横につながった単純パスを作る方法の数 (作れなければ $0$) を mod $10^9 + 7$ で求めよ． 制約 $1 \leq n, m \leq 1000$， $nm \geq 3$，$1 \leq k \leq \lfloor (nm - 1) / 2 \rfloor$ 解 tutorialへのリンク 略解．click to open $P_i = (x_i, y_i)$ と書く．$\{|x_i - x_{i + 1}|, |y_i - y_{i + 1}|\}$ は， (1) $\{0, 2\}$ であるか，(2) $\{1, 1\}$ であるか，でなければならない． 間に入れる点は，(1) では1つに決まる．(2) では，2つの点のうちのどちらか．...