Posts

Wavelet 行列ライブラリを書いた． 使用法 vector<ll> vec{...}; WaveletMatrix wm(vec, -1); cout << wm.kth_rank(10, 20) << endl; コンストラクタ WaveletMatrix wm(vec, amax); vec … データを格納したベクトルなど．すべて非負整数であることが必要． amax … 「データがこの値を超えない」という値．-1 を与えると，ライブラリの方で最大値を取ってくれる データメンバ wm.N … データの個数 他にもあるが，使わないと思う． データ値の取得 wm.access(i); i 番目の値を取得する．vec[i] と同じになるはずなので，あまり使いではない． 出現回数 wm.rank(t, r); 区間 [0, r) に t が現れる回数を返す． t は非負整数であればよい． r は，wm.N 以下でなければならない． k番目 wm.kth_smallest(k, l, r); wm.kth_largest(k, l, r); 区間 [l, r) で，k 番目に小さい / 大きい 値を返す． k は 0-indexed. たとえば最小値は kth_smallest(0, l, r)....

解法に詰まったとき，以下の方法が適用できないか，考えてみる． 二分探索 bit64倍高速化 convolution 半分全列挙 フロー 平方分割 CHT trie (期待値) = sum_i (i以上になる確率) deque はランダムアクセスが O(1) 区間 [a, b] を2次元平面の点 (a, b) で表現 区間の問題を距離の問題に言い直して Dijkstra (例題 ) 積の和典型 集合のハッシュ． Zobrist Hashing (有限集合の部分集合) 多重集合のハッシュ (例題 )

set, multiset, priority_queue などの比較関数の指定方法

この組合せで適切かどうか分からないが，こう作った． ライブラリソース 解ける問題 Bellman-Ford アルゴリズム 重み付き有向グラフで，特定の点からすべての点への距離 (パスの重みの和の最小値) を求める． 重みは負でも良い．負閉路があると距離が定義できない ($-\infty$ になる) が，このアルゴリズムはその検出ができる． 計算量は，頂点数 $N$，辺数 $M$ として，$O(NM)$． 牛ゲー 次の制約問題を解く． 変数 $x_i$ ($i = 1, \ldots, n$) に関し，次の制約の下で，$x_n - x_1$ の最大値 (または最小値) を求めよ． $x_{A_j} - x_{B_j} \leq C_j$ $\quad(j = 1, \ldots, m)$ $C_j$ は負でも良い．移項すれば良いので，$x_{A_j} - x_{B_j} \geq C_j$ という制約でも良い． この問題で，求める最大値は，「重み $C_j$ の有向辺 $(B_j, A_j)$ を持つグラフで，$1$ から $N$ への距離」になる (参考リンク )． 次が対応する． 制約を満たせないことと，グラフが負閉路を持つこと いくらでも大きな値を取れることと，グラフで$1$から$N$に到達できないこと 最小値バージョンは，同じ制約の下で $x_1 - x_n$ の最大値を求めて符号を反転すれば良い． 注意: このライブラリでは，Bellman-Ford を用いるので，変数の数$N$，制約の数$M$に対して， $\Omega(NM)$ 時間かかる．制約によっては，(適当な変換をして) ダイクストラなどの 速いアルゴリズムを使う必要があるかもしれない．...

問題概要 問題へのリンク 整数 $N$，$M$ と列$L$，$R$，$S$ が与えられる． $M$個の制約 $$\sum\{ A_j \mid j = L_i, \dots, R_i \} = S_i$$ を満たす長さ $N$ の正の整数の列 $A$ が存在するかどうか判定し， 存在する場合には $A$ の総和の最小値を求めよ． 制約 $1 \leq N, M \leq 4000$，$1 \leq S_i \leq 10^9$ 解 公式解説 略解．click to open 牛ゲー．累積和 $B_i := \sum\{A_j \mid 0 \leq j < i\}$ に関して，次を解けば良い． 次の条件の下で，$B_{N + 1} - B_{1}$ を最小化する $B_{i + 1} - B_i \geq 1$ $B_{R_{i} + 1} - B_{L_i} \geq S_i$ $B_{R_{i} + 1} - B_{L_i} \leq S_i$

問題概要 問題へのリンク 整数 $N$ と，長さ $N$ の正の整数列 $(A_1, \ldots, A_N)$ が与えられる． $m = 1, 2, \ldots, N$ に対して，次の問題を解け 列 $(A_1, \dots, A_m)$ の空でない部分列のスコアの総和を 998244353 で割ったあまりを求めよ． ただし，列 $(B_1, \ldots, B_k)$ のスコアは，$\displaystyle\sum_{i = 1}^{k-1} \textrm{gcd}(B_i, B_{i + 1})$ である． 制約 $1\leq N \leq 5\times10^{5}$，$1 \leq A_i \leq 10^5$ 解 公式解説へのリンク ユーザ解説 (noshi91) へのリンク すこし考察すると，解を $R_1, \ldots, R_N$ として， $$ R_i = 2R_{i - 1} + \sum_{j = 1}^{i - 1} 2^j \textrm{gcd}(A_i, A_j) $$...

問題概要 問題へのリンク 整数 $n$, $m$, $k$ と，長さ $k + 1$ の整数の組の列 $((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_{k + 1}, y_{k + 1}))$ が $(x_i, y_i)$ は，サイズ $n\times m$ のグリッドのセルの座標であり，重複は無い． $(x_i, y_i)$ と $(x_{i + 1}, y_{i + 1})$ の間に1つずつセルを挿入して， 縦横につながった単純パスを作る方法の数 (作れなければ $0$) を mod $10^9 + 7$ で求めよ． 制約 $1 \leq n, m \leq 1000$， $nm \geq 3$，$1 \leq k \leq \lfloor (nm - 1) / 2 \rfloor$ 解 tutorialへのリンク 略解．click to open $P_i = (x_i, y_i)$ と書く．$\{|x_i - x_{i + 1}|, |y_i - y_{i + 1}|\}$ は， (1) $\{0, 2\}$ であるか，(2) $\{1, 1\}$ であるか，でなければならない． 間に入れる点は，(1) では1つに決まる．(2) では，2つの点のうちのどちらか．...

K番目の要素の二分探索による求め方と，ベクトルのt付近の要素

問題概要 問題へのリンク 1辺の長さが1の正方形である2種類のタイルがある． 種類A: 種類B: 高さ $H$，幅 $W$ のグリッドに，このタイルが敷き詰められている． (A, B からなる長さ $W$ の文字列が $H$ 個与えられる) 各タイルは回転可能． グリッドをトーラスとしてみたときに，線分が行き止まりにならずつながるように配置する方法の数を mod 998244353 で求めよ． 制約 $2 \leq H$，$2 \leq W$，$HW \leq 10^6$ 解 公式解説へのリンク 略解．click to open 正しく敷き詰められているとする． $p[i, j]$ を，セル $(i, j)$ の左側の縦の線分の中点を線が通るかどうか (true/false) $q[i, j]$ を，セル $(i, j)$ の上側の横の線分の中点を線が通るかどうか (true/false) とする． トーラスになるように同一視する． $i$を固定し，横一列に $p[i, j]$ ($j = 0, 1, \ldots, W)$ を考えると， セル $(i, j)$ が A なら，$p[i, j] = \neg p[i, j + 1]$ セル $(i, j)$ が B なら，$p[i, j] = p[i, j + 1]$ だから，A の横の個数は偶数でなければならない．縦も同様．...

問題概要 問題へのリンク 整数 $N$ と長さ $N$ の整数列 $A$ が与えられる．最初スコアは $0$ である． 次の操作を，$A$ の長さが $1$ 以下になるまで繰り返す: $A$の (その時点で) 隣接する2項を選び，どちらも削除する． 2項の差の絶対値がスコアに加算される． 得られるスコアの最大値を求めよ． 制約 $2 \leq N \leq 3\times 10^5$，$1 \leq A_i \leq 10^9$ 解 公式解説へのリンク 略解．click to open $N$ が偶数の時 大きい方の半分をプラスに，小さい方の半分をマイナスにした和がスコアの上界． この上界が達成できる． $N$ が奇数の時 最後に残る1個を決めると，その左右それぞれで，上記偶数の時と同じ議論になる． 最後に残る1個を，左から順に全部調べる．

問題概要 問題へのリンク 整数 $N$ と，長さ $N$ の整数列 $A = (A_0, \ldots, A_{N - 1})$ が与えられる． $A$ を 2箇所で区切って，3個の空でない連続する部分列に分解するとき， おのおのの部分列に含まれる数の種類数の和の最大値を求めよ． 制約 $3 \leq N \leq 3\times10^5$，$1 \leq A_i \leq N$ 解 公式解説 略解．click to open $L_i := (A_0, \ldots, A_{i - 1})$ に含まれる種類数 $R_i := (A_i, \ldots, A_{N - 1})$ に含まれる種類数 $dp[i][j] := (A_0, \ldots, A_{j - 1})$ と $(A_j, \ldots, A_{i - 1})$ に含まれる種類数の和 ($j \in [0, i)$) とする．求める値は $\max_i (R_i + \max_j(dp[i][j]))$．...

問題概要 問題へのリンク 長さ$N$の文字列 $S$ が与えられる．$S$ に現れる文字は B と P だけ． 次の操作によって，B を左に P を右に寄せ $S$ を BB...BPP...P という形にする． 操作の最小回数を求めよ． $S$ の長さ3の部分列をとり，その部分の B を左に，P を右に寄せる． つまり，1回の操作は，以下のいずれか: (あ) PPB $\to$ BPP (い) PBP $\to$ BPP (う) PBB $\to$ BBP (え) BPB $\to$ BBP 制約 $3 \leq N \leq 2\times10^5$ 解 tutorialへのリンク 略解．click to open 奇数番のみ，偶数番のみの列を考えると， 操作は，次のいずれかになっている: (ア) 奇数列の隣接入替，偶数列の隣接入替 (あ, う) (イ) 奇数列と偶数列の B, P の入替 (い，え) 全体としてみたときの転倒数を $r$ とする．(ア)では転倒数が2減り， (イ) では転倒数が1減る． 最終形を考えると，奇数列，偶数列の B, P の個数は決まっている． だから，(イ) の最低必要な回数 $x$ が決まる． 「最初に (イ) を $x$ 回行って，あとの操作はすべて (ア)」が実現できれば， それ以上回数は減らせない．...

問題概要 問題へのリンク 整数 $N \geq 1$ と，整数の multiset $ A, B$ が与えられる．$A$, $B$ の要素数は $N$ である． 整数 $K$ で，multiset $ \{ a \bmod K \mid a \in A \}$ が $B$ と等しくなるものがあるか判定し， あれば1つ与えよ． 制約 $1 \leq N \leq 10^4$，$0 \leq a_i, b_i \leq 10^6$ 解 tutorialへのリンク 略解．click to open そういう $K$ があれば $K$ は，$d := \sum_i a_i - \sum_i b_i$ の約数になる． ($10^{10}$ 以下の数の約数の個数の最大値は $2304$ 個である．)

ABC399-F Range Power Sum が， 積の和典型だとのことなので，関連記事へのリンクなど． リンク 積の和典型 - ei1333の日記 ABC399-F 問題概要 問題へのリンク $A = (A_1, \dots, A_N)$ が与えられる．次を mod 998244353 で求めよ: $$ \sum_{1 \leq l \leq r \leq N}\left( \sum_{l \leq i \leq r} A_i \right)^K $$ 制約: $N \leq 2\times 10^5$, $K \leq 10$． 解法 (累積和で2項展開しても解けるが，それは置いといて…) 以下， 公式解説 より． 次のように言い換えられる． ボールが $A_i$ 個入った箱が一列に並んでいる． 箱の間に，2個の仕切りを入れる． 2つの仕切りの間にあるボールに，$1, 2, \ldots, K$ と書かれたラベルを1枚ずつ貼る 仕切りの入れ方とラベルの貼り方をセットで考えて，この方法の数が，求める答になる． DP で求める． dp[i][j][k] = (箱 i まで見て，仕切りを j 個入れていて，ラベルを k 枚貼るような方法の数)

畳み込みやゼータ変換やメビウス変換に関するメモ