行列ライブラリ

自分用の行列ライブラリのメモです．

AO.cc (Algebra Operations) に依存する．

要素の型を T として，Matrix<T> が，行列の型になる． (実装上，これは，Mat<AO_def<T>> として定義されているが，使うときは気にしなくて良い)

以下，要素の型を T とし，MyMat = Matrix<T> と定義されているものとする． mat は MyMat 型とする．

MyMat(int dimI_, int dimJ_) … dimI_ 行 dimJ_ 列の零行列
MyMat(int dimI_, int dimJ_, T t) … dimI_ 行 dimJ_ 列の，要素の値がすべて t である行列
MyMat(int dimI_, int dimJ_, const vector<T>& vec) … dimI_ 行，dimJ_ 列で，内部表現が vec である行列．内部表現は，$a_{00}, a_{01}, \dots, a_{10}, a_{11}, \dots a_{mn}$ の順に並べた1次元 vector. dimI_ と dimJ_ のどちらかは負の数にすることができて，その場合には計算される．
MyMat(int dimI_, int dimJ_, vector<T>&& vec) … 同上
MyMat(initializer_list<initializer_list<T>> il) … 自然に
MyMat(const Part& cs) … 構造体 Part については後述

長さ n のベクトル vec を，MyMat オブジェクトに変換するときには，
- 縦長 (n, 1) 行列とみるときには，MyMat m = MyMat(n, 1, vec) もしくは MyMat m = MyMat(-1, 1, vec) とすればよい．
- 横花 (1, n) 行列とみるときには，MyMat m = MyMat(1, n, vec) もしくは MyMat m = MyMat(1, -1, vec) とすればよい．
(n, 1) 行列もしくは (1, n) 行列を表す MyMat 型のオブジェクト mat を vector<T> に変換するときには， mat.mem を取れば良い．

ただし，$(n, n)$ 行列と$(n, 1)$ 縦ベクトルの積を作るときには， MyMat * vector<T> のオーバーライドを使う方が簡単である．下の「演算」を参照．

型には行列のサイズが含まれないので，これらを static member function として定義することは難しい．そこで，何らかのオブジェクトを作って，「それと同じサイズの」零行列や単位行列が作れるようにしてある．

構築子: Part(const Mat& mat_, int i_size_ = -1, int j_size_ = -1, int i_0_ = 0, int j_0_ = 0); mat_ の小行列．左上は (i_0_, j_0_) で，サイズが (i_size_, j_size_)．
Mat のメンバ関数
- mat.part(i_size, j_size, i0, j0) … Part(mat, i_size, j_size, i0, j0) と同じ．
- mat.memcopy(part, i_1, j_1) … part が表す小行列を，行列 mat の中の，左上 (i_1, j_1) の部分に埋め込む

+, -, *, +=, -=, *= をサポートする．
累乗: mat.matpower(x) … mat の x 乗．正方行列に限る．
* のオーバーライドで，MyMat と vector
のこの順の掛け算は，結果を vector
にとれるようにしてある．
- 例: auto v = Matrix<ll>{{1, 2}, {3, 4}} * vector<ll>{1, 1}; とすれば，v は vector<ll>{3, 7} に等しい．

[rank, det] = mat.self_sweepout(); … mat は，縦方向に掃き出したものに置き換えられる．rank はランク，det は行列式．
[rank, det] = mat.sweepout(); … mat は変化しない．(掃き出した結果の行列は捨てられる)．rank はランク，det は行列式．
omat = mat.inv(); … 逆行列．omat の型は optional<MyMat> で，逆行列が存在しないときは nullopt．
mat.determinant() … 行列式
oo = mat.linSolution<flag>(bs);
- 一次方程式 mat * X = bs を解く．bs の型は MyMat．
- 返り値 oo の型は optional<pair<MyMat, vector<MyMat>>>．
  - 解がない場合には，oo は，nullopt．
  - 解がある場合には，oo = [sol, kernel] として，sol は (1つの) 解． flag が true の場合には，kernel は解空間の基底． flag が false の場合には，kernel の値には意味が無い (計算が省略される)
- 注意: コンパイラが，linSolution の後ろに付ける “<” を不等号と誤認しないよう，次のように .template を書く必要があるかもしれない:
  - auto opt1 = mat.template linSolution<true>(bs);