「牛ゲー」なる手法のまとめです． ABC216 G - 01Sequence で出てきました．

適用できる問題

$(c_{ij} \mid i, j \in [1, N])$ と，$S, T \in [1, N]$ が与えられる． 変数 $x_1, \ldots, x_N$ に対する制約

  • $x_i - x_j \leq c_{ij}$

のもとで，$ x_T - x_S $ の最大値を求めよ．

解法

集合 $\{1, .., N\}$ 上に，$i$ から $j$ に距離 $c_{ij}$ の辺がある グラフを考える． 以下のようになる (参照 ):

  • 制約を満たす解がある $\Leftrightarrow$ グラフに負閉路がない
  • グラフに負閉路がない場合:
    • $ x_T - x_S $ の最大値がない (いくらでも大きくできる) $\Leftrightarrow$ $T$ は $S$ から到達できない
  • グラフに負閉路がなく，$T$ が $S$ から到達できる場合
    • $ x_T - x_S $ の最大値は，グラフ上の $S$ から $T$ への最短路長に一致する．

最後の行が重要．特に，全部の $c_{ij}$ が非負なら， ダイクストラで解ける．