二項係数に関する公式

$\begin{array}{rc} (1) & \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{r} b^{n - r} = (a + b)^{n} \\ (2) & \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) = 2^{n} \\ (3) & r (\binom{n}{r}) = n (\binom{n - 1}{r - 1}) \\ (4) & (\binom{n}{r}) + (\binom{n}{r + 1}) = (\binom{n + 1}{r + 1}) \\ (5) & \sum_{i = r}^{n} (\binom{i}{r}) = (\binom{n + 1}{r + 1}) \\ (6) & \sum_{i = 0}^{c} (\binom{a}{i}) (\binom{b}{c - i}) = (\binom{a + b}{c}) \end{array}$

注

(1) 二項定理
(2) 上で $a = b = 1$
(3) 定義に従って展開
(4) パスカルの三角形の作り方
(5) Hockey Stick Identity
(6) a + b から c をとるとき，a から i とったとすれば，残りは b からとっている．

注#

注