\begin{eqnarray} & \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^r b^{n-r} = (a + b)^n \\ & \sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r} = 2^n \\ & r\binom{n}{r} = n\binom{n-1}{r-1} \\ & \binom{n}{r} + \binom{n}{r + 1} = \binom{n+1}{r + 1} \\ & \sum_{i=r}^{n}\binom{i}{r} = \binom{n+1}{r+1} \\ & \sum_{i=0}^{c}\binom{a}{i}\binom{b}{c-i} = \binom{a+b}{c} \\ & \sum_{i=0}^{\infty}\binom{a}{i}\binom{b}{i} = \binom{a+b}{a} \\ & \sum_{i=0}^{\infty}\binom{a}{i + c}\binom{b}{i} = \binom{a+b}{a - c} \\ \end{eqnarray}
注
- (1) 二項定理
- (2) 上で $a = b = 1$
- (3) 定義に従って展開
- (4) パスカルの三角形の作り方
- (5) Hockey Stick Identity
- (6) a + b から c をとるとき，a から i とったとすれば，残りは b からとっている．
- (7) (6) で c := b とする． もしくは，a + b から a 個をマークし，a の方からはマークしていないものを，b の方からはマークしているものを選ぶ．
- (8) (7)から始めて(4)を繰返し使う．もしくは，a + b から a - c 個をマークして，(7)と同様にする．