$$ \binom{n}{r} = \binom{n - 1}{r - 1} + \binom{n - 1}{r} $$
言わずもがな．パスカルの三角形
$$ \binom{n}{r} = \frac{n}{r} \binom{n - 1}{r - 1} $$
定理から明らか．
$$ \sum_{i = r}^{n} \binom{i}{r} = \binom{n + 1}{r + 1} $$
Hockey-stick identity. 次のように1を繰り返し適用． $\binom{n + 1}{r + 1} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r + 1} = \binom{n}{r} + \binom{n - 1}{r} + \binom{n - 1}{r + 1} = \binom{n}{r} + \binom{n - 1}{r} + \binom{n - 2}{r} + \binom{n - 2}{r + 1} = \dots$
$$ \binom{n + m}{r} = \sum_{i = 0}^{r}\binom{n}{i}\binom{m}{r - i} $$
$n + m$ から $r$ 取る組合せは，$n$ から $i$ 取って，$m$ から $r - i$ とる組合せで $i$ を動かしたもの．
$$ \sum_{r = 0}^{n} r \binom{n}{r} = n 2^{n - 1} $$
左辺は，$\sum_{r = 1}^{n} r \binom{n}{r} = n \sum_{r = 1}^{n} \binom{n - 1}{r - 1} = n 2^{n - 1}$ と計算できる．