何のページになるか良く分からないが，希望としては，包除原理を使う問題を集めたい?
$x \in \mathbb{N}$ に対して $\bar{x} := \{0, 1, \ldots, x-1\}$ と書く．
定理の言明
$U$ は集合とする．各 $i = 0, \ldots, n-1$ に対して $A_i \subseteq U$ が定められている時， $$ \biggl|\bigcup_{i \in \overline{n}} A_i\biggr| = \sum \left\{ (-1)^{|X| + 1} \biggl|\bigcap_{i \in X} A_i\biggr| \;\middle|\; X \in \mathcal{P}(\bar{n}) \setminus \{ \emptyset \} \right\} $$
証明は，このブログの中だと ここ にある．
使う問題
ABC456-G Count Holidays
次の部分問題を包除原理で解いている:
正整数 $n$ と $k$ が与えられる． 集合 $\bar{n}$ の部分集合 $X$ について，$p(X)$ を，$X$ に含まれる区間の長さの最大値とする． つまり，$i, i + 1, \dots, i + j - 1$ がすべて $X$ の要素になるような $i$ が存在するような $j$ の最大値である． $p(X) \leq k$ であるような $X \subseteq \bar{n}$ の個数を，mod 998244353 で求めよ． 時間計算量 $O(n/k)$．ただし，必要な階乗などは前計算してあって $O(1)$ で得られるとする．
解
$p(X) \geq k + 1$ なる $X$ の個数を数えて $2^n$ から引けば良い．
$A_i$ を，$\bar{n}$ の部分集合で$i$ から長さ$k + 1$ 以上の区間が始まるものの集合とする．つまり， $A_i := \{ X \subseteq \bar{n} \;\bigl|\bigr.\; [i, i + k + 1) \subseteq X$ かつ $i - 1 \not\in X\}$ とする． ただし，$i = 0$ のとき，$-1 \not\in X$ は自動的に成り立つと解釈する．
$p(X) \geq k + 1$ となることは，$X \in \bigcup_{i \in \bar{n}} A_i$ となることと同値だから， 包除原理によってその右辺を計算すればよい． $m = 1, 2, \ldots$ について，$P_m := \{ X \subseteq \bar{n} \mid |X| = m \}$， $f(m) := \sum \left\{ |\bigcap_{i \in X} A_i| \;|\; X \in P_m \right\}$ とすれば，包除原理の右辺は $\sum_{m = 1}^{n} (-1)^{m + 1} f(m)$ となる． $X \in P_m$ に対して，$Q(X) := \bigcap_{i \in X} A_i$ は， $X$ の点同士がすべて $k + 2$ 以上離れていなければ空集合になる． したがって，$(k + 2)(m - 1) + 1 \leq n$ が必要で，$m$ はこの範囲を動かせば良い． 空集合でない場合には，$X$ の要素から $k + 1$ 個は $Q(X)$ $m - 1$ 個ないし $m$ 個
keywords: inclusion exclusion principle